(2006
湖南,18)如下图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(1)
证明:PQ⊥平面ABCD;(2)
求异面直线AQ与PB所成的角;(3)
求点P到平面QAD的距离.
解析: (1)连结AC、BD,设AC∩BD=O,因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥,所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面AB-CD,从而P、O、Q三点在一条直线上,所以PQ⊥平面ABCD.(2) 由题设知,ABCD是正方形,所以AC⊥BD.由 (1)知,PQ⊥平面ABCD,故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),由题设条件,相关各点的坐标分别是P(0,0,1),,Q(0,0,-2),.所以 ,.于是 .从而异面直线 AQ与PB所成的角是.(3) 由(2)知,点D的坐标是,,,设 n=(x,y,z)是平面QAD的一个法向量,由得.取 x=1,得.所以点 P到平面QAD的距离. |
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