Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，CD=2，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面CDM；
（Ⅱ）求二面角D-MC-B的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取DC中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，以O为原点，分别以OA，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由

PA

•

DM

=0，

PA

•

DC

=0，利用向量法能证明PA⊥平面DNC．
（Ⅱ）求出平面BMC的一个法向量和平面CDM的法向量，由此利用向量法能求出二面角D-MC-B的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：取DC中点O，连结PO，
∵侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
∵底面ABCD为菱形，且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，OA⊥DC，
以O为原点，分别以OA，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（

3

，0，0），P（0，0，

3

），B（

3

，2，0），
C（0，1，0），D（0，-1，0），∴M（

3

2

，1，

3

2

），
∴

DM

=（

3

2

，2，

3

2

），

PA

=（

3

，0，-

3

），

DC

=（0，2，0），
∴

PA

•

DM

=0，

PA

•

DC

=0，
∴PA⊥DM，PA⊥DC，又DM∩DC=D，
∴PA⊥平面DNC．
（Ⅱ）解：

CM

=（

3

2

，0，

3

2

），

CB

=（

3

，1，0），
设平面BMC的一个法向量

n

=（x，y，z），
则

n • CM =x+z=0 n • CB = 3 x-y=0

，取x=1，得

n

=（-1，-

3

，1），
由（Ⅰ）知平面CDM的法向量为

PA

=（

3

，0，-

3

），
∴cos＜

n

，

PA

＞=

n • PA

| n |•| PA |

=

-2 3

5 • 6

=-

10

5

，
由图象得二面角D-MC-B是钝角，
∴二面角D-MC-B的余弦值为-

10

5

．

点评：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．