Question

5．求y=sin²x+sinx的增区间．

Answer 1

分析 设t=sinx，利用换元法结合一元二次函数和正弦函数的单调性进行求解即可．

解答 解：设t=sinx，则-1≤t≤1，
则函数等价为y=f（t）=t²+t=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
对称轴为t=$-\frac{1}{2}$，当-1≤t≤$-\frac{1}{2}$时，函数y=f（t）为减函数，
当$-\frac{1}{2}$≤t≤1时，y=f（t）为增函数，
若求函数y=sin²x+sinx的增区间，
则函数t=sinx，和y=f（t）的单调性相同，
即当y=f（t）为增函数时，满足$-\frac{1}{2}$≤t≤1，且函数t=sinx为增函数，此时2kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
当y=f（t）为减函数时，满足-1≤t≤$-\frac{1}{2}$，且函数t=sinx为减函数，此时2kπ+$\frac{7π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
即函数的递增区间为[2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，[2kπ+$\frac{7π}{6}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查函数单调区间的求解，利用换元法结合复合函数的单调性，以及正弦函数和一元二次函数的单调性是解决本题的关键．