Question

若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式f（x）＞

3

ex

+1（e为自然对数的底数）的解集为（　　）

• A、（0，+∞）
• B、（-∞，0）∪（3，+∞）
• C、（-∞，0）∪（0，+∞）
• D、（3，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,其他不等式的解法

专题：计算题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：不等式f（x）＞

3

ex

+1可化为e^xf（x）-e^x-3＞0；令F（x）=e^xf（x）-e^x-3，从而利用导数确定函数的单调性，再由单调性求解．

解答： 解：不等式f（x）＞

3

ex

+1可化为
e^xf（x）-e^x-3＞0；
令F（x）=e^xf（x）-e^x-3，
则F′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x
=e^x（f（x）+f′（x）-1）；
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴e^x（f（x）+f′（x）-1）＞0；
故F（x）=e^xf（x）-e^x-3在R上是增函数，
又∵F（0）=1×4-1-3=0；
故当x＞0时，F（x）＞F（0）=0；
故e^xf（x）-e^x-3＞0的解集为（0，+∞）；
即不等式f（x）＞

3

ex

+1（e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）；
故选A．

点评：本题考查了不等式的解法及构造函数的能力，同时考查了导数的综合应用，属于中档题．