Question

（2012•茂名二模）如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B，P在单位圆上，且B（-

3

5

，

4

，5

），∠AOB=α，∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

．设四边形OAQP的面积为S，
（1）求cos（α-

π

6

）；
（2）求f（θ）=

OA

•

OQ

+S的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）由B的坐标及∠AOB=α，利用三角函数定义求出cosα与sinα的值，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将各自的值代入计算即可求出值；
（2）由A与P的坐标，及

OQ

=

OA

+

OP

，利用平面向量的数量积运算法则表示出

OQ

，进而求出

OA

•

OQ

，再由S为OA乘以P的纵坐标，表示出S，各自代入f（θ）中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（θ）的单调递增区间．

解答：解：（1）∵B（-

3

5

，

4

5

），∠AOB=α，cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

，
∴cos（α-

π

6

）=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=-

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

4-3 3

10

；
（2）由已知得：A（1，0），P（cosθ，sinθ），
∴

OQ

=

OA

+

OP

=（1+cosθ，sinθ），

OA

•

OQ

=1+cosθ，
∵S=sinθ，
∴

OA

•

OQ

+S=sinθ+cosθ+1=

2

sin（θ+

π

4

）+1（0＜θ＜π），
∵θ∈（0，π），∴

π

4

＜θ+

π

4

＜

5π

4

，
由

π

4

＜θ+

π

4

≤

π

2

，得到0＜θ≤

π

4

，
则f（θ）=

OA

•

OQ

+S的单调递增区间为（0，

π

4

]．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．