Question

已知函数
（1）求f（t）的值域G
（2）若对G内的所有实数x，不等式-x²+2mx-m²+2m≤1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数，
∴即，
（2）-x²+2mx-m²+2m≤1恒成立?x²-2mx+m²-2m+1≥0恒成立，
令g（x）=x²-2mx+m²-2m+1
当时
当时
当m≥3时
综上：或．
分析：（1）利用函数的单调性可求其值域G；
（2），不等式-x²+2mx-m²+2m≤1恒成立可转化为x²-2mx+m²-2m+1≥0恒成立（），令g（x）=x²-2mx+m²-2m+1，其对称轴x=m，分区间在对称轴左侧（包括边界），右侧（包括边界），对称轴穿过，三种情况利用函数的单调性及最值讨论解决．
点评：本题考查函数恒成立问题，解决的关键是明确其对称轴在给定区间的什么位置，借助其单调性解决，属于中档题．