Question

9．如图，已知AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连结CF交AB于点E．若AB=6，ED=4，则EF=（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$
• D． $\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 （1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理即可证明DE²=DB•DA，由圆中相交弦定理得CE•EF=AE•EB，结合直角三角形中边的关系，先求出AE和EB，从而求出EF的长．

解答 解：连结OF．
∵DF切⊙O于F，
∴∠OFD=90°，
∴∠OFC+∠CFD=90°
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC．
∵CO⊥AB于O，
∴∠OCF+∠CEO=90°．
∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，
∴DF=DE．
∵DF是⊙O的切线，
∴DF²=DB•DA．
∴DE²=DB•DA．
∵AB=6，ED=4，
∴16=DB（DB+6），
∴DB=2，
∴BE=2，OE=1，
∴CE=$\sqrt{9+1}$=$\sqrt{10}$
∵CE•EF=AE•EB=（3+1）×2=8，
∴EF=$\frac{8}{\sqrt{10}}$=$\frac{4}{5}\sqrt{10}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用，属于中档题．