Question

【题目】篮球运动于1891年起源于美国，它是由美国马萨诸塞州斯普林菲尔德（旧译麻省春田）市基督教青年会（）训练学校的体育教师詹姆士·奈史密斯博士（）发明.它是以投篮、上篮和扣篮为中心的对抗性体育运动之一，是可以增强体质的一种运动.已知篮球的比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，3分线内侧投入可得2分，不进得0分.经过多次试验，某人投篮100次，有20个是3分线外侧投入，30个是3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件.

（1）求该人在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；

（2）求该人在4次投篮中至少有一次是3分线外侧投入的概率；

（3）求该人两次投篮后得分的分布列及数学期望.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)见解析

【解析】

（1）由古典概型概率公式求出“3分线外侧投入”的概率，利用独立重复实验概率公式求解即可；（2）利用独立事件的概率公式，结合对立事件的概率公式求解即可；（3）两次投篮后得分的得分可能取值为0，2，3，4，5，6，独立事件与互斥事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.

“3分线外侧投入”“3分线内侧投入”“不能入篮”分别记为事件，，，则由题意知：，，.

（1）因为每次投篮为相互独立事件，故4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率为

.

（2）记“该人在4次投篮中至少有一次是3分线外侧投入”为事件，则“该人在4次投篮中没有一次是3分线外侧投入”为事件.

易知，

则.

即该人在4次投篮中至少有一次是3分线外侧投入的概率为.

（3）两次投篮后得分的得分可能取值为0，2，3，4，5，6，

由于该人两次投篮互不影响，是相互独立事件，

表示两次投篮都不能入篮，则；

表示一次是3分线内侧投入，另一次不能入篮，则；

表示一次是3分线外侧投入，另一次不能入篮，则；

表示两次都是3分线内侧投入，则；

表示一次是3分线外侧投入，另一次是3分线内侧投入，则；

表示两次都是3分线外侧投入，则.

所以的分布列为

	0	2	3	4	5	6
P

数学期望为.