Question

设x、y满足约束条件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

，若目标函数Z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则

4

a

+

1

b

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线2x-y+2=0与直线8x-y-4=0的交点（1，4）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大8，
即a+4b=8，
则

4

a

+

1

b

=（

4

a

+

1

b

）

a+4b

8

=1+

2b

a

+

a

8b

≥2．
故答案为2．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．