Question

设f（x）在区间（-∞，+∞）可导，其导数为f′（x），给出下列四组条件p是q的充分条件的是（　　）
①p：f（x）是奇函数，q：f′（x）是偶函数
②p：f（x）是以T为周期的函数，q：f′（x）是以T为周期的函数
③p：f（x）在区间（-∞，+∞）上为增函数，q：f′（x）＞0在（-∞，+∞）恒成立
④p：f（x）在x₀处取得极值，q：f′（x₀）=0．

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：根据函数导数的定义和导数与原函数性质之间的联系，对各选项逐个加以判断，可得：①、②当中p是q的充要条件，必定是充分条件，故正确；④是充分不必要条件，也正确，而③是必要不充分条件，故③不正确．

解答：解：对于①，若函数f（x）是奇函数，满足f（-x）=-f（x），
则f'（-x）=f'（x）•（-x）'=f'（x），函数f'（x）为偶函数，故p是q的充分条件，故①正确；
对于②，根据函数周期性的定义，可得“f（x）是以T为周期的函数”与“f′（x）是以T为周期的函数”等价，
故p是q的充要条件，必定是充分条件，故②正确；
对于③，f（x）在区间（-∞，+∞）上为增函数，可得f′（x）≥0在（-∞，+∞）恒成立
反之，f′（x）＞0在（-∞，+∞）恒成立，必定f（x）在区间（-∞，+∞）上为增函数
故p是q的必要非充分条件，故③不正确；
对于④，根据可导函数极值的定义，可得由“f（x）在x₀处取得极值”能推出“f′（x₀）=0”，反之不一定成立
故p是q的充分条件，故④正确．
因此，能使p是q的充分条件的是①②④
故选B

点评：本题以充分必要条件的判断为载体，考查了函数的导数定义和导数与原函数性质间的联系等知识，属于基础题．