Question

（1）已知点的极坐标分别为（3，

π

4

），（4，

π

2

），求它们的直角坐标；已知点的直角坐标分别为（3，

3

），（0，3），求它们的极坐标
（2）把下面的直角坐标方程化成极坐标方程；极坐标方程转化成直角坐标方程
①2x-3y-1=0
②ρ=2cosθ-4sinθ

Answer 1

分析：（1）根据公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，即可算出（3，

π

4

）、（4，

π

2

）两点的直角坐标形式．利用ρ²=x²+y²算出极径ρ，由tanθ=

y

x

可得极角θ的值，因此即可得到（3，

3

）、（0，3）的极坐标形式；
（2）①直接由公式x=ρcosθ、y=ρsinθ代入，即可得到2x-3y-1=0的极坐标方程形式；
②在方程ρ=2cosθ-4sinθ的两边都乘以ρ，再用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²化简整理，即可得到曲线ρ=2cosθ-4sinθ的直角坐标方程．

解答：解：（1）设点P（3，

π

4

）的直角坐标为（x₁，y₁），
∵|OP|=3，θ=

π

4

，
∴x₁=3cos

π

4

=

3 2

2

，y₁=3sin

π

4

=

3 2

2

，可得点（3，

π

4

）的直角坐标为(

3 2

2

，

3 2

2

)，
同理可得点Q（4，

π

2

）的直角坐标为（0，4），
设M（3，

3

）的极坐标为（ρ₁，θ₁），可得
ρ12=

33+( 3 )2

=2

3

，tanθ₁=

3

3

得θ₁=

π

6

∴M（3，

3

）的极坐标为(2

3

，

π

6

)，
同理可得N（0，3）的极坐标为(3，

π

2

)
（2）①∵曲线的直角坐标方程为2x-3y-1=0，
∴将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得2ρcosθ-3ρsinθ-1=0，即为曲线的极坐标方程；
②∵曲线的极方程为ρ=2cosθ-4sinθ
∴两边都乘以ρ，得ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²
∴x²+y²=2x-4y，化简整理得（x-1）²+（y+2）²=5，即为曲线的直角坐标方程．

点评：本题给出极坐标方程要求化成直角坐标形式，给出直角坐标方程要求化成直角坐标形式．着重考查了直角坐标与极坐标互化公式和直角与圆的方程等知识，属于基础题．