Question

已知抛物线y²=6x，过点p（3，1）引一条弦p₁p₂使它恰好被点p平分，求这条弦所在直线方程及|p₁p₂|．

Answer 1

分析：设出P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），代入抛物线方程后作差得到p₁p₂的斜率，由点斜式得到直线方程；联立直线方程和抛物线的方程，利用弦长公式求弦长．

解答：解：设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
则

y12=6x1① y22=6x2②

，①-②得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=6（x₁-x₂）．

y1-y2

x1-x2

=3．即kP1P2=3．
所以过P（3，1）的直线方程为y-1=3（x-3），即3x-y-8=0；
再由

y2=6x 3x-y-8=0

，得y²-2y-16=0．
则y₁+y₂=2，y₁y₂=-16．
所以|P₁P₂|=

1+ 1 9

(y1+y2)2-4y1y2

=

10 9

22+64

=

2

3

170

．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了“点差法”求中点弦的斜率，考查了弦长公式，是中档题．