Question

若函数f（x）定义域为R，满足对任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x₁，x₂∈R，有lgg（x₁+x₂）≤lgg（x₁）+lgg（x₂），则称g（x）为“对数V形函数”．
（1）当f（x）=x²时，判断f（x）是否为V形函数，并说明理由；
（2）当g（x）=x²+2时，证明：g（x）是对数V形函数；
（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V形函数？证明你的结论．

Answer 1

（1）解：f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=（x₁+x₂）²-（+）=2x₁x₂
∵x₁，x₂∈R，∴2x₁x₂符号不定，∴当2x₁x₂≤0时，f（x）是V形函数；当2x₁x₂＞0时，f（x）不是V形函数；
（2）证明：假设对任意x₁，x₂∈R，有lgg（x₁+x₂）≤lgg（x₁）+lgg（x₂），
则lgg（x₁+x₂）-lgg（x₁）-lgg（x₂）=lg[（x₁+x₂）²+2]-lg（x₁²+2）-lg（x₂²+2）≤0，
∴（x₁+x₂）²+2≤（x₁²+2）（x₂²+2），
∴x₁²x₂²+（x₁-x₂）²+2≥0，显然成立，
∴假设正确，g（x）是对数V形函数；
（3）解：f（x）是对数V形函数
证明：∵f（x）是V形函数，∴对任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），
∵对任意x∈R，有f（x）≥2，∴+≤1，∴0＜f（x₁）+f（x₂）≤f（x₁）f（x₂），
∴f（x₁+x₂）≤f（x₁）f（x₂），
∴lgf（x₁+x₂）≤lgf（x₁）+lgf（x₂），
∴f（x）是对数V形函数．
分析：（1）由f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=（x₁+x₂）²-（+）=2x₁x₂，可得2x₁x₂符号不定，从而可得结论；
（2）利用反证法证明．假设对任意x₁，x₂∈R，有lgg（x₁+x₂）≤lgg（x₁）+lgg（x₂），则可得（x₁+x₂）²+2≤（x₁²+2）（x₂²+2），即证x₁²x₂²+（x₁-x₂）²+2≥0，显然成立；
（3）f（x）是对数V形函数，根据f（x）是V形函数，利用对任意x∈R，有f（x）≥2，证明f（x₁+x₂）≤f（x₁）f（x₂），从而可得f（x）是对数V形函数．
点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确理解新定义．