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已知曲线C上的动点M到y轴的距离比到点F(1,0)的距离小1,
(I)求曲线C的方程;
(II)过F作弦PQ、RS,设PQ、RS的中点分别为A、B,若
PQ
RS
=0
,求|
AB
|
最小时,弦PQ、RS所在直线的方程;
(III)是否存在一定点T,使得
AF
TB
-
FT
?若存在,求出P的坐标,若不存在,试说明理由.
分析:(I)根据抛物线定义可知曲线C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线,进而可得抛物线的方程.
(II)设lPQ:y=k(x-1),代入抛物线消去y,得到一元二次方程,根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的表达式,进而可得点A的坐标,根据
PQ
RS
=0
,可知PQ⊥RS,进而可得|
AB
 |
的表达式,进而可知当k=±1时|
AB
|
最小值.答案可得.
(III)根据
AF
TB
-
FT
推断出
AT
TB
,进而可知即A,T,B三点共线由(II)可得直线AB的方程整理得(1-k2)y=k(x-3)进而可知直线AB过定点(3,0).
解答:精英家教网解:(I)由条件,M到F(1,0)的距离等于到直线x=-1的距离,
所以,曲线C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线,其方程为y2=4x
(II)设lPQ:y=k(x-1),代入y2=4x得:k2x2-2(k2+2)x+k2=0
由韦达定理
x1+x2=
2(k2+2)
k2
x1x2=1

xA=
x1+x2
2
=
k2+2
k2
=1+
2
k2
yA=k(xA-1)=
2
k

A(1+
2
k2
2
k
)
PQ
RS
=0

∴PQ⊥RS只要将A点坐标中的k换成-
1
k
,得B(1+2k2,-2k)
|
AB
|=
(1+
2
k2
-(1+2k2))
2
+(
2
k
+2k)
2
=
4
k4
 
+4k4+
4
k2
+4k2
≥4
(当且仅当k=±1时取“=”)
所以,|
AB
|
最小时,弦PQ、RS所在直线的方程为y=±(x-1),
即x+y-1=0或x-y-1=0
(III)∵
AF
TB
-
FT
?
AF
+
FT
TB
?
AT
TB

即A,T,B三点共线
∴是否存在一定点T,使得
AF
TB
-
FT

即探求直线AB是否过定点
由(II)知,直线AB的方程为y+2k=
-2k-
2
k
2k2+1-(
2
k2
+1)
(x-2k2-1)

即(1-k2)y=k(x-3),
∴直线AB过定点(3,0)
故存在一定点T(3,0),
使得
AF
TB
-
FT
点评:本题主要考查抛物线的应用.考查了综合运用所学知识和运算的能力.
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已知曲线C上的动点M(x,y)满足到点(1,0)的距离比到直线x=-2的距离小1.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点P(2,4)的直线与曲线C交于A、B两点,在线段AB上取点Q,满足|
AP
|•|
QB
|=|
AQ
|•|
PB
|,证明:
(ⅰ)
1
|
PA
|
+
1
|
PB
|
=
2
|
PQ
|
;(ⅱ)点Q总在某定直线上.

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(ⅰ)

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(ⅰ);(ⅱ)点Q总在某定直线上.

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