Question

已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x）．
（1）求f（x）的表达式；（2）定义正数数列{an} ，a1=

1

2

，an+12=2anf(an)，求a_n．

Answer 1

分析：（1）由sin2αcosβ+cos2αsinβ=3sinβ，得：sin2α+tanβcos2α=3tanβ，故tanβ=

sin2α

3-cos2α

=

sinαcosα

cos2α+2sin2α

=

tanα

1+2tan2α

．由此能求出f（x）的表达式．
（2）由an+12=

2an2

1+2an2

，得：

1

an+12

=

1+2an2

2an2

=

1

2an2

+1，故

1

an+12

-2=

1

2

(

1

an2

-2)，由此能求出a_n．

解答：解：（1）由sin2αcosβ+cos2αsinβ=3sinβ，
得：sin2α+tanβcos2α=3tanβ，
故tanβ=

sin2α

3-cos2α

=

2sinαcosα

3(cos 2α+sin 2α)-(cos2α-sin2α )

=

sinαcosα

cos2α+2sin2α

=

tanα

1+2tan2α

．
∴y=

x

1+2x2

．（6分）
（2）由an+12=

2an2

1+2an2

，
得：

1

an+12

=

1+2an2

2an2

=

1

2an2

+1，
故

1

an+12

-2=

1

2

(

1

an2

-2)，
又

1

a12

-2=2，
∴

1

an2

-1=2•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2，
又a_n＞0，故an=

2n-2 1+2n-1

．（12分）

点评：本题考查数列的递推式，解题时要认真审题，仔细解答，注意同角三角函数关系的灵活运用．