Question

（选做题）在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为为参数），P为C₁上的动点，Q为线段OP的中点．
（Ⅰ）求点Q的轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴（两坐标系取相同的长度单位）的极坐标系中，N为曲线ρ=2sinθ上的动点，M为C₂与x轴的交点，求|MN|的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）设Q（x，y），则∵Q为线段OP的中点，∴点P（2x，2y），
又P为C₁上的动点，曲线C₁的参数方程为
∴（t为参数）
∴（t为参数）
∴点Q的轨迹C₂的方程为（t为参数）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得点M（1，0），
∵曲线ρ=2sinθ
∴ρ²=2ρsinθ
∴x²+y²=2y
∴x²+（y-1）²=1
即曲线ρ=2sinθ的直角坐标方程为x²+（y-1）²=1
∴|MN|的最大值为．
分析：（Ⅰ）设Q（x，y），利用Q为线段OP的中点，可得点P（2x，2y），利用P为C₁上的动点，曲线C₁的参数方程为，即可求得点Q的轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得点M（1，0），且曲线ρ=2sinθ上的直角坐标方程为x²+（y-1）²=1，从而可求|MN|的最大值．
点评：本题重点考查轨迹方程的求解，考查代入法求轨迹方程，考查极坐标与直角坐标方程的互化，属于基础题．