Question

如图，在棱长为1的正方体中．

  

（I）在侧棱上是否存在一个点P，使得直线与平面所成角的正切值为；          

  （Ⅱ）若P是侧棱上一动点，在线段上是否存在一个定点，使得在平面上的射影垂直于．并证明你的结论．

Answer 1

（1）当PC＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为．（2）点Q应当是A₁C₁的中点O₁，

解析:

解法一：（Ⅰ）如图,设PC=m,连AC，

设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点G，,

连结OG，因为PC∥平面，

平面∩平面APC＝OG,故OG∥PC，

所以，OG＝PC＝．又AO⊥BD,AO⊥BB₁，

所以AO⊥平面，

故∠AGO是AP与平面所成的角．

在Rt△AOG中，tanAGO＝， 即m＝．

所以，当PC＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为． …………………6分

   （Ⅱ）可以推测，点Q应当是A₁C₁的中点O₁，因为D₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP．那么根据三垂线定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影与AP垂直． …………………12分

解法二：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，

B₁(1，1，1)，D₁(0，0，1)

所以          

又由知，为平面的一个法向量．

设AP与平面所成的角为，

则。

依题意有

解得．

故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为． ……………6分

   （Ⅱ）若在A₁C₁上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，

则Q(x，1－，1)，。

依题意，要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，

等价于D₁Q⊥AP

即Q为A₁C₁的中点时，满足题设要求． …………………12分