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    精英家教网如图，双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆O与双曲线交于A、B、C、D四点，若AB交y轴于点H，圆O与y轴正半轴相交于点P，且
    OH
    =（3+2
    		3
    ）
    HP
    ．
    （1）若双曲线的焦距为2，求双曲线的方程；
    （2）求双曲线的离心率．
    分析：（1）由|F1F2|=2可求得P（0，1），设H（0，m），由
    OH
    =（3+2
    		3
    ）
    HP
    可求得m，从而可求得A点的坐标，代入双曲线方程，得到a，b的关系式，与a2+b2=1联立即可求得双曲线的方程；
    （2）设焦距为2c，则P（0，c），设H（0，n），同理可求得（
    b
    a
    ）2=3+2
    		3
    ?
    a2+b2
    a2
    =
    c2
    a2
    =e2=4+2
    		3
    ，从而可得双曲线的离心率．
    解答：解：（1）由|F1F2|=2得圆O的半径为1，故P（0，1），设H（0，m）．
    ∵
    OH
    =（3+2
    		3
    ）
    HP
    =（3+2
    		3
    ）（0，1-m），
    ∴m=（3+2
    		3
    ）（1-m），解得m=
    		3
    2
    ，
    故A（x，
    		3
    2
    ），由|OA|=1得x=
    1
    2
    ，
    ∴A（
    1
    2
    ，
    		3
    2
    ）．
    ∵点A（
    1
    2
    ，
    		3
    2
    ）在双曲线上，
    ∴
    1
    4a2
    -
    3
    4b2
    =1，
    又∵焦距为2，
    ∴a2+b2=1，解得a2=1-
    		3
    2
    ，b2=
    		3
    2
    ，
    故双曲线的方程为
    x2
    1-
    		3
    2
    -
    y2
    		3
    2
    =1．
    （2）设焦距为2c，则P（0，c），设H（0，n）．
    ∵
    OH
    =（3+2
    		3
    ）
    HP
    =（3+2
    		3
    ）（0，c-n），
    ∴n=（3+2
    		3
    ）（c-n），解得n=
    		3
    2
    c，
    即H（0，
    		3
    2
    c）．
    由A（x0，
    		3
    2
    c）在圆上得x0=
    1
    2
    c，
    ∴A（
    1
    2
    c，
    		3
    2
    c），
    ∴将A（
    1
    2
    c，
    		3
    2
    c）代入双曲线方程得
    c2
    4a2
    -
    3c2
    4b2
    =1，
    又∵a2+b2=c2，化简得3a4+6a2b2-b4=0，
    即（
    b
    a
    ）4-6（
    b
    a
    ）2-3=0，
    ∴（
    b
    a
    ）2=3+2
    		3
    ，
    ∴e2=
    c2
    a2
    =1+
    b2
    a2
    =4+2
    		3
    ，
    故双曲线的离心率为e=
    		3
    +1．
    点评：本题考查双曲线的标准方程与离心率，考查向量的坐标运算，考查方程思想与综合分析与运算能力，属于难题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0）的离心率为
    		5
    2
    ，F1    、F2分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且
    F1M
    .
    F2M
    =-
    1
    4
    ．
    （I）求双曲线的方程；
    （II）设A（m，0）和B(
    1
    m
    ，0)    （0＜m＜1）是x轴上的两点．过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE垂直于x轴．中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•湖北）如图，双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：
    （Ⅰ）双曲线的离心率e=
    		5
    +1
    2
    		5
    +1
    2
    ；
    （Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值
    S1
    S2
    =
    		5
    +2
    2
    		5
    +2
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•天津模拟）如图，椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）与一等轴双曲线相交，M是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点F1，F2，双曲线的焦点是椭圆的顶点A1，A2，△MF1F2的周长为4（
    		2
    +1）．设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
    （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
    （Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1•k2=1；
    （Ⅲ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）的渐近线为l1，l2，离心率为
    		13
    3
    ，P1∈l1，P2∈l2，且
    OP1
    •
    OP2
    =t    ，
    P2P
    =λ
    PP1
    （λ＞0），P在双曲线C右支上．
    （1）若△P1OP2的面积为6，求t的值；
    （2）t=5时，求a最大时双曲线C的方程．

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