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如图,设抛物线C的方程为y2=4x,O为坐标原点,P为抛物线的准线与其对称轴的交点,过焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于M、N两点,若直线PM与ON相交于点Q,则cos∠MQN=
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分析:由物线C的方程为y2=4x,知P(-1,0),F(1,0),由焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于M、N两点,知M(1,2),N(1,-2),所以直线PM的方程为y=x+1,直线ON的方程为y=-2x,解方程组
y=x+1
y=-2x
,得Q(-
1
3
2
3
).所以
QM
=(
4
3
4
3
)
QN
=(
4
3
 ,-
8
3
)
,由此能求出cos∠MQN.
解答:解:如图,∵物线C的方程为y2=4x,O为坐标原点,
P为抛物线的准线与其对称轴的交点,
∴P(-1,0),
F(1,0),
∵焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于M、N两点,
∴M(1,2),N(1,-2),
∵直线PM过P(-1,0),M(1,2),
∴直线PM的方程为
y
x+1
=1
,即y=x+1,
∵直线NO过点O(0,0),N(1,-2),
∴直线ON的方程是
y
x
=
-2
1
,即y=-2x,
∴解方程组
y=x+1
y=-2x
,得Q(-
1
3
2
3
).
QM
=(
4
3
4
3
)
QN
=(
4
3
 ,-
8
3
)

∴cos∠MQN=cos<
QM
QN
>=
4
3
×
4
3
+
4
3
×(-
8
3
)
4
3
2
 ×
4
3
5
=-
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故答案为:-
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点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,难度大,是高考的重点,易错点是抛物线知识体系不牢固.本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.
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(1)当M的坐标为(0,-1)时,求过M,A,B三点的圆的方程,并判断直线l与此圆的位置关系;
(2)求证:直线AB恒过定点(0,m).

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(Ⅰ)当M的坐标为(0,-l)时,求过M,A,B三点的圆的标准方程,并判断直线l与此圆的位置关系;
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科目:高中数学 来源:2011年福建省龙岩市一级达标学校联盟高中高三联考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

如图,设抛物线C的方程为y2=4x,O为坐标原点,P为抛物线的准线与其对称轴的交点,过焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于M、N两点,若直线PM与ON相交于点Q,则cos∠MQN=   

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