Question

有穷数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+n，现从中抽取某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均值是79．
①求数列{a_n}的通项a_n；
②求这个数列的项数，抽取的是第几项？

Answer 1

【答案】分析：①由已知中数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+n，根据a_n=S_n-S_n-1可求出当n≥2时，数列{a_n}的通项a_n，验证n=1，a₁=S₁=3后，即可得到数列{a_n}的通项a_n；
②设抽取的是第k项，由现从中抽取某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均值是79，可以构造关于k的方程，解方程即可求出k值．
解答：解：①由S_n=2n²+n得a₁=S₁=3，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1，显然满足n=1，
∴a_n=4n-1，
∴数列{a_n}是公差为4的递增等差数列．
②设抽取的是第k项，则S_n-a_k=79（n-1），a_k=（2n²+n）-79（n-1）=2n²-78n+79．
由，∵n∈N^*，∴n=39，
由a_k=2n²-78n+79=2×39²-78×39+79=4k-1⇒k=20．
故数列{a_n}共有39项，抽取的是第20项．
点评：本题考查的知识点是等差数列的通项公式，其中a_n=S_n-S_n-1是由数列{a_n}的前n项和求数列{a_n}的通项a_n最常用的方法，要注意对n=1时，a₁=S₁的验证．