Question

【题目】在四棱锥中，底面ABCD是边长为6的菱形，且，平面ABCD，，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点．

Ⅰ求证：．

Ⅱ若．

求PC与平面BDF所成角的正弦值；

侧面PAD内是否存在过点E的一条直线，使得该直线上任一点M与C的连线，都满足平面BDF，若存在，求出此直线被直线PA、PD所截线段的长度，若不存在，请明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

【解析】

证明平面PAC即可得出；建立空间坐标系，求出平面BDF的法向量，计算和的夹角的余弦值即可；取PF的中点G，证明平面，即可得出结论．

证明：平面ABCD，平面ABCD，

，

四边形ABCD是菱形，

，

又，平面PAC，平面PAC，

平面PAC，

又平面PAC，

．

解：设AC，BD交于点O，以O为坐标原点，以OB，OC，平面ABCD过点O的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，

则0，，0，，，3，，，

，0，，，

设平面BDF的法向量为y，，则，即，

令可得，即2，，

，．

与平面BDF所成角的正弦值为，．

取PF的中点G，连接FG，CG，

，G分别是PD，PF的中点，

，又平面BDF，平面BDF，

平面BDF，

，O分别是AG，AC的中点，

，又平面BDF，平面BDF，

平面BDF，

又平面CEG，平面CEG，，

平面平面BDF，

侧面PAD内存在过点E的一条直线EG，使得该直线上任一点M与C的连线，

都满足平而BDF，

此直线被直线PA、PD所截线段为．