Question

13．已知函数$f（x）=\frac{mx-6}{{{x^2}+n}}$的图象在点P（-1，f（-1））处的切线方程为x+2y+5=0，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由切点在切线上和曲线上，满足方程，解方程即可得到m，n的值，即可得到f（x）的解析式．

解答 解：函数$f（x）=\frac{mx-6}{{{x^2}+n}}$的导数为f′（x）=$\frac{m（{x}^{2}+n）-2x（mx-6）}{（{x}^{2}+n）^{2}}$，
切线方程为x+2y+5=0，
由题意得$f（-1）=-2，f'（-1）=-\frac{1}{2}$，
即为$\frac{-m-6}{1+n}$=-2，$\frac{m（1+n）+2（-m-6）}{（1+n）^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-6}\\{n=-1}\end{array}\right.$（由n+1≠0舍去n=-1），
则f（x）=$\frac{2x-6}{{x}^{2}+3}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．