Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+1

（n∈N^*）．
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

2n-an

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设P=

2013

i=1

1+ a 2 i + a 2 i+1

，求不超过P的最大整数的值．

Answer 1

分析：（1）由知得

1

an+1

-

1

an

=1，可证等差数列，结合等差数列的 通项可求

1

an

，进而可求
（2）由b_n=

1

2n-an

=

n

2n

，考虑利用错位相减求和即可求解
（3）由

1+an2+an+12

=

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

变形后利用裂项求和可求P=

2013

i-1

1+ a 2 i + a 2 i+1

，从而可求

解答：证明：（1）由知得：

1

an+1

=

1

an

+1，即

1

an+1

-

1

an

=1
所以数列{

1

an

}为首项为1，公差为1的等差数列，…（2分）
∴

1

an

=1+n-1=n 从而 an=

1

n

       …（4分）
解：（2）∵b_n=

1

2n-an

=

n

2n

…（5分）
所以Tn=

1

2

+

3

22

+…+

n

2n

         …①，

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+…+

n

2n+1

，…②
由①-②得，

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

∴Tn=2-

2+n

2n

．   …（9分）
（3）

1+an2+an+12

=

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，…（11分）
∴P=

2013

i-1

1+ a 2 i + a 2 i+1

=（1+

1

1

-

1

2

）+（1+

1

2

-

1

3

）+…+（1+

1

2013

-

1

2014

）
=2014-

1

2014

所以，不超过P的最大整数为2013．   …（14分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推 公式构造等差数列求解通项公式及裂项求和方法的应用，属于数列知识的简单综合