Question

请认真阅读下列程序框图：
已知程序框图x_i=f（x_i-1）中的函数关系式为，程序框图中的D为函数f（x）的定义域，把此程序框图中所输出的数x_i组成一个数列{x_n}．
（1）若输入，请写出数列{x_n}的所有项；
（2）若输出的无穷数列{x_n}是一个常数列，试求输入的初始值x₀的值；
（3）若输入一个正数x₀时，产生的数列{x_n}满足：任意一项x_n，都有x_n＜x_n+1，试求
正数x₀的取值范围．

Answer 1

解：（1）当时，因为f（x）的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
∴，
，
∉D，
所以数列{x_n}只有三项 ．
（2）数列{x_n}是一个常数列，则有x₁=x₂=…=x_n=x₀即 ，解得：x₀=1或x₀=2，
所以输入的初始值x₀为1或2时输出的为常数列．
（3）由题意知 ，因x₀＞0，
∴x_n＞0，有：得4x_n-2＞x_n（x_n+1）即x_n²-3x_n+2＜0，即（x_n-2）（x_n-1）＜0
要使任意一项x_n，都有x_n+1＞x_n，须（x₀-2）（x₀-1）＜0，解得：1＜x₀＜2，
所以当正数x₀在（1，2）内取值时，所输出的数列{x_n}对任意正整数n满足x_n＜x_n+1．
分析：（1）利用 ，及工作原理，注意函数的定义域，直接可求得数列{x_n}的只有三项；
（2）要数列发生器产生一个无穷的常数列，则有 ，从而求出相应的初始数据x₀的值；
（Ⅲ）要使对任意正整数n，均有x_n＜x_n+1，则必须 ，得1＜x_n＜2，要使任意一项x_n，都有x_n+1＞x_n，须（x₀-2）（x₀-1）＜0，解得：1＜x₀＜2，从而得出结论．
点评：本小题主要考查数列与算法的简单结合、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．