Question

如下图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，P分别是BC、A₁D₁的中点，M、N分别是AE、CD₁的中点，AD=AA₁=a,AB=2a.

（1）求证：MN∥面ADD₁A₁；

（2）求二面角P-AE-D的大小.

Answer 1

（1）证明1：取CD的中点K，连结MK,NK,

∵M、N、K分别为AK、CD₁、CD的中点,

∴MK∥AD,NK∥DD₁.

∴MK∥面ADD₁A,NK∥面ADD₁A₁.

∴面MNK∥面ADD₁A.

∴MN∥面ADD₁A₁.

（2）解法1：设F为AD的中点

∵P为A₁D₁的中点,∴PF∥DD₁.

∴PF⊥面ABCD.

作FH⊥AE，交AE于H，连结PH，则由三垂线定理得AE⊥PH.

从而∠PHF为二面角P-AE-D的平面角.

在Rt△AEF中，AF=，EF=2a，AE=，

从而FH=.

在Rt△PFH中，tanPFH=，

故：二面角P—AE—D的大小为arctan.

(1)证法2：以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，

则A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),A₁(a,0,a),D₁(0,0,a)，

∵E,P,M,N分别是BC,A₁D₁,AE,CD₁的中点，

∴E（，2a，0），P（，0，a），M（，a，0），N（0，a，）.

=（，0，），取n=（0，1，0），显然n⊥面ADD₁A₁，·n=0，

∴⊥n，又MN面ADD₁A₁，∴MN∥面ADD₁A₁.

(2)解法2：∴过P作PH⊥AE，交AE于H，取AD的中点F，则F(，0，0)，

设H（x,y,0），则=(-x,-y,a)，=(-x,-y,0),又=(-，2a，0).

由·=0，及H在直线AE上，可得

解得x=a，y=a，

∴=（，，a），=（，，0）.

∴·=0，即⊥.

∴与所夹的角等于二面角P-AE-D的大小，cos＜，＞=.

故二面角P-AE-D的大小为arccos .