Question

2．若不等式x²-ay²≥（2+a）xy（x＞0，y＞0）恒成立，则实数a的最大值为2$\sqrt{3}$-4．

Answer 1

分析 由题意可得a≤$\frac{{x}^{2}-2xy}{xy+{y}^{2}}$，分子分母同除以y²，再令t=$\frac{x}{y}$+1，可得a≤t+$\frac{3}{t}$-4，运用基本不等式可得右边的最小值，进而得到a的范围，即有a的最大值．

解答 解：不等式x²-ay²≥（2+a）xy（x＞0，y＞0）恒成立，
即为a≤$\frac{{x}^{2}-2xy}{xy+{y}^{2}}$，即为a≤$\frac{（\frac{x}{y}）^{2}-\frac{2x}{y}}{\frac{x}{y}+1}$，
令t=$\frac{x}{y}$+1，（t＞1），则$\frac{（\frac{x}{y}）^{2}-\frac{2x}{y}}{\frac{x}{y}+1}$=$\frac{（t-1）^{2}-2（t-1）}{t}$
=t+$\frac{3}{t}$-4≥2$\sqrt{t•\frac{3}{t}}$-4=2$\sqrt{3}$-4，
当且仅当t=$\sqrt{3}$＞1取得最小值2$\sqrt{3}$-4，
即有a≤2$\sqrt{3}$-4．
故答案为：2$\sqrt{3}$-4．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查运算求解能力，属于中档题．