Question

有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从k到k+1），若掷出反面，棋向前跳两站（从k到k+2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束．设棋子跳到第n站概率为P_n．
（1）求P₀，P₁，P₂的值；
（2）求证：P_n-P_n-1=-

1

2

（P_n-1-P_n-2），其中n∈N，2≤n≤99；
（3）求P₉₉及P₁₀₀的值．

Answer 1

分析：（1）由题意知棋子开始在第0站为必然事件，第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为

1

2

，棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：①前两次掷硬币都出现正面，②第一次掷硬币出现反面，根据概率公式得到结果．
（2）棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情况是下列两种，而且也只有两种：①棋子先到第n-2站，又掷出反面，其概率为

1

2

P_n-2；②棋子先到第n-1站，又掷出正面，其概率为

1

2

P_n-1．得到连续三个概率之间的关系．
（3）根据第二问得到的关于连续三个概率之间的关系，整理出数列{P_n-P_n-1}是首项为P₁-P₀=-

1

2

，公比为-

1

2

的等比数列．写出等比数列的通项，仿写一系列式子，把这些式子相加，得到要求的结论．

解答：（1）解：棋子开始在第0站为必然事件，
∴P₀=1．
第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为

1

2

，
∴P₁=

1

2

．
棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：
①前两次掷硬币都出现正面，其概率为

1

4

；
②第一次掷硬币出现反面，其概率为

1

2

．
∴P₂=

1

4

+

1

2

=

3

4

．
（2）证明：棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情况是下列两种，而且也只有两种：
①棋子先到第n-2站，又掷出反面，其概率为

1

2

P_n-2；
②棋子先到第n-1站，又掷出正面，其概率为

1

2

P_n-1．
∴P_n=

1

2

P_n-2+

1

2

P_n-1．
∴P_n-P_n-1=-

1

2

（P_n-1-P_n-2）．
（3）解：由（2）知，当1≤n≤99时，
数列{P_n-P_n-1}是首项为P₁-P₀=-

1

2

，公比为-

1

2

的等比数列．
∴P₁-1=-

1

2

，P₂-P₁=（-

1

2

）²，P₃-P₂=（-

1

2

）³，…，P_n-P_n-1=（-

1

2

）ⁿ．
以上各式相加，得P_n-1=（-

1

2

）+（-

1

2

）²+••+（-

1

2

）ⁿ，
∴P_n=1+（-

1

2

）+（-

1

2

）²++（-

1

2

）ⁿ=

2

3

[1-（-

1

2

）ⁿ⁺¹]（n=0，1，2，，99）．
∴P₉₉=

2

3

[1-（

1

2

）¹⁰⁰]，
P₁₀₀=

1

2

P₉₈=

1

2

•

2

3

[1-（-

1

2

）⁹⁹]=

1

3

[1+（

1

2

）⁹⁹]．

点评：本题考查互斥事件的概率公式，数列的定义，用叠加法求数列的项，是一个综合题，这种问题可以作为高考题目出现，解题时注意要灵活应用所学知识．