Question

已知圆O的方程为x²+y²=16．
（1）求过点M（-4，8）的圆O的切线方程；
（2）过点N（3，0）作直线与圆O交于A、B两点，求△OAB的最大面积以及此时直线AB的斜率．

Answer 1

分析：（1）圆心为O（0，0），半径r=4，设过点M（-4，8）的切方程为y-8=k（x+4），即kx-y+4k+8=0，则

|4k+8|

k2+1

=4，解得k=-

3

4

，由此能求出过点M（-5，11）的圆C的切线方程．
（2）当直线AB的斜率不存在时，S△ABC=3

7

，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0，圆心O（0，0）到直线AB的距离d=

3|k|

k2+1

，线段AB的长度|AB|=2

16-d2

，由经能求出△OAB的最大面积和此时直线AB的斜率．

解答：解：（1）∵圆O的方程为x²+y²=16，
∴圆心为O（0，0），半径r=4，
设过点M（-4，8）的切方程为y-8=k（x+4），即kx-y+4k+8=0，（1分）
则

|4k+8|

k2+1

=4，解得k=-

3

4

，（3分）
切线方程为3x+4y-20=0（5分）
当斜率不存在时，x=-4也符合题意．
故切线方程为：3x+4y-20=0或x=-4．（6分）
（2）当直线AB的斜率不存在时，S△ABC=3

7

，（7分）
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
圆心O（0，0）到直线AB的距离d=

3|k|

k2+1

，（9分）
线段AB的长度|AB|=2

16-d2

，
∴S△ABC=

1

2

|AB|d=d

16-d2

=

d2(16-d2)

≤

d2+(16-d2)

2

=8．（11分）
当且仅当d²=8时取等号，此时

9k2

k2+1

 =8，解得k=±2

2

．
所以，△OAB的最大面积为8，此时直线AB的斜率为±2

2

．（12分）

点评：本题考查直线和圆的位置关系，具体涉及到圆的基本性质和圆的切线方程、三角形最大面积的求法和直线的斜率等知识点．解题时要认真审题，仔细解答，避免不必要的错误．