Question

对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，如[0.32]=0，[5.68]=5．若n为正整数，an=[

n

4

]，S_n为数列{a_n}的前n项和，则S_4n=

（2n-1）n

．

Answer 1

分析：先推导a1=[

1

4

]=0，a2=[

1

2

]=0，a3=[

3

4

]=0，a₄=[1]=1a5=[

5

4

]=1，a6=[

6

4

]=1，a7=[

7

4

]=1，a₈=[2]=2，…a_4n=[n]=n，而S_4n=a₁+a₂+…+a_4n=4（0+1+2+3+…+n-1）+n可求

解答：解：∵a1=[

1

4

]=0，a2=[

1

2

]=0，a3=[

3

4

]=0，a₄=[1]=1a5=[

5

4

]=1
a6=[

6

4

]=1，a7=[

7

4

]=1，a₈=[2]=2
a_4n=[n]=n
S_4n=a₁+a₂+…+a_4n=4（0+1+2+3+…+n-1）+n
=4×

(1+n-1)(n-1)

2

+n=n（2n-1）
故答案为：n（2n-1）

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉定义，将问题转化为已知等差数列的求和问题去解决．