Question

设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1+

tanB

tanA

=

2c

3 a

．
（1）求角B的大小；
（2）若

m

=(cosA，cosB)，

n

=（1，sinA-cosAtanB），求

m

•

n

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理，结合三角形的内角和定理，即可求得角B的大小；
（2）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式化简函数，即可求得

m

•

n

的取值范围．

解答：解：（1）由1+

tanB

tanA

=

2c

3 a

得1+

sinB

cosB

cosA

sinA

=

2sinC

3 sinA

，即

sinC

cosBsinA

=

2sinC

3 sinA

∵A，C∈（0，π），∴sinC≠0，sinA≠0，∴cosB=

3

2

∵B∈（0，π），∴B=

π

6

．                                  （5分）
（2）由（1）知B=

π

6

，∴

m

=(cosA，

3

2

)，

n

=（1，sinA-

3

3

cosA），（6分）
于是

m

•

n

=cosA+

3

2

（sinA-

3

3

cosA）=sin（A+

π

6

）． （10分）
∵0＜A＜

5π

6

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜π
∴

1

2

＜sin(A+

π

6

)≤1，即

1

2

＜

m

•

n

≤1．      （12分）

点评：本题考查正弦定理，考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查学生计算能力，属于中档题．