Question

设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一点，

AP

=λ

AB

，若

OP

•

AB

≥

PA

•

PB

，则实数λ的取值范围是

1-

2

2

≤λ≤1

．

Answer 1

分析：根据向量的坐标运算法则，算出P的坐标为（1-λ，λ），进而得到各向量的坐标，得

OP

•

AB

=2λ-1、

PA

•

PB

=2λ²-2λ，结合已知条件建立关于λ的不等式，解之即可得到实数λ的取值范围．

解答：解：∵A（1，0），B（0，1），∴向量

AB

=（-1，1）
∵P是线段AB上的一点，满足

AP

=λ

AB

∴设P（x，y），得

AP

=（x-1，y）=λ（-1，1）
可得

x-1=-λ y=λ

，解得P的坐标为（1-λ，λ）
∴

OP

•

AB

=（1-λ）×（-1）+λ×1=2λ-1

PA

•

PB

=（λ，-λ）（λ-1，1-λ）=λ（λ-1）+（-λ）（1-λ）=2λ²-2λ
∵

OP

•

AB

≥

PA

•

PB

，
∴2λ-1≥2λ²-2λ，解之得1-

2

2

≤λ≤1+

2

2

∵点P是线段AB上的点，得λ∈[0，1]
∴λ的取值范围是1-

2

2

≤λ≤1
故答案为：1-

2

2

≤λ≤1

点评：本题给出关于向量数量积的不等式，求参数λ的取值范围，着重考查了平面向量数量积和向量的坐标运算，及一元二次不等式的解法等知识，属于基础题．