Question

在△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，

m

=（a，cosB），

n

=（b，cosA）且

m

∥

n

，

m

≠

n

，
（1）判断△ABC的形状；
（2）求sinA+sinB的取值范围；
（3）若abx=ac+bc，x∈R⁺试确定log₂x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由两个向量共线的性质可得acosA=bcosB，再由正弦定理求得sin2A=sin2B，又

m

≠

n

，故2A+2B=π，即 A+B=

π

2

，则 C=

π

2

，由此可得△ABC的形状．
（2）由于 sinA+sinB=

2

sin（A+

π

4

），0＜A＜

π

2

，可得

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

，从而求得

2

sin（A+

π

4

）的范围．
（3）由abx=ac+bc，得x=

ac+bc

ab

，再由正弦定理可得 x=

sinAsinC+sinBsinC

sinAsinB

=

sinA+sinB

sinAsinB

，设 sinA+sinB=t∈（1，

2

]，可得 x=

t

t2-1 2

=

2

t- 1 t

，利用基本不等式求得x的范围，即可求得log₂x的取值范围．

解答：解：（1）∵

m

=（a，cosB），

n

=（b，cosA），且

m

∥

n

，∴acosA=bcosB．-----（1分）
由正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．-----（2分）
又

m

≠

n

，所以，2A+2B=π，即 A+B=

π

2

，则 C=

π

2

，--------（3分）
∴△ABC是直角三角形．---------（4分）
（2）sinA+sinB=sinA+sin（

π

2

-A）=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

）．---（6分）
∵0＜A＜

π

2

，∴

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

，∴

2

×

2

2

＜

2

sin（A+

π

4

）≤

2

，故sinA+sinB的取值范围是（1，

2

]．-------------（8分）
（3）若abx=ac+bc，x∈R⁺，则 x=

ac+bc

ab

，
由正弦定理，得 x=

sinAsinC+sinBsinC

sinAsinB

=

sinA+sinB

sinAsinB

，---------（9分）
设 sinA+sinB=t∈（1，

2

]，则 t²=1+2sinAcosA，所以sinAcosA=

t2-1

2

，----（10分）
即 x=

t

t2-1 2

=

2t

t2-1

=

2

t- 1 t

≥

2

2 - 1 2

=2

2

，∴log₂x≥log2(2

2

)=log2(2)

3

2

=

3

2

，
所以log₂x的取值范围为[

3

2

，+∞）．-----------（12分）

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，正弦定理、两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，基本不等式的应用，属于中档题．