Question

过△ABC各边中点D、E、F分别作各边的垂面，这三个垂面能否交于同一直线，若能交于同一直线，这条交线有什么特点，若不能交于同一直线，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

设过D、E、F作的AB、BC、CA的垂面分别为α、β、γ(如图)，则有α∩β＝l，否则若α∥β，AB⊥α，AB⊥β． 　　∵BC⊥β，AB⊥β 　　∴BC∥β，这与BC∩AB＝B矛盾，因此α∩β＝l． 　　设l与OF确定的平面为，l∩平面ABC＝O． 　　∵AB⊥α，ODα． 　　∴AB⊥OD，同理BC⊥OE，O是AB、BC垂直平分线的交点，即O是△ABC的外心，从而AC⊥OF． 　　∵AB⊥α，lα，∴l⊥AB． 　　同理l⊥BC∴l⊥平面ABC 　　∵OF⊥AC∴AC⊥．因此平面与γ是同一平面． 　　∴α∩β∩＝l．∴α∩β∩γ＝l． 　　即这三个垂面交于同一条直线． 　　由前面的证明可知l⊥平面ABC．l在平面ABC的射影O就是△ABC的外心．

提示：

本题是运用同一法来证明存在性问题．与代数中的探索性问题一样，对于这类是否存在性的问题，根据立体几何的知识直接构造出符合题意的模型，作出肯定的回答，是解决这类问题的常用方法．