Question

已知双曲线

x2

9

-

y2

16

=1，  △ABC的顶点B、C与双曲线的两个焦点重合，点A在双曲线上运动，试求△ABC的重心G的轨迹方程．

Answer 1

分析：根据三角形的重心坐标公式，确定动点A，G坐标之间的关系，利用点A在双曲线上运动，即可求得△ABC的重心G的轨迹方程．

解答：解：设A（x₀，y₀），重心G（x，y），依题意B（-5，0），C（5，0）．
又点A（x₀，y₀）在双曲线

x2

9

-

y2

16

=1上，则

x02

9

-

y02

16

=1…(*)，…（4分）
∵G是△ABC的重心，∴x=

-5+5+x0

3

，y=

y0

3

，…（6分）
即x₀=3x，y₀=3y，代入（*）式，有

(3x)2

9

-

(3y)2

16

=1，又y₀≠0，则y≠0．
故所求的重心G的轨迹方程为：x2-

9y2

16

=1  (y≠0)．…（13分）

点评：本题重点考查轨迹方程的求解，考查代入法求轨迹方程，解题的关键是根据三角形的重心坐标公式，确定动点A，G坐标之间的关系．