Question

4．如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，CC₁=$\sqrt{3}$．
（1）求证：A₁B₁∥平面ABC；
（2）求二面角C-AB-C₁的大小的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据棱柱的定义便知，两底面平行，从而便可得出A₁B₁∥平面ABC；
（2）可先找出二面角C-AB-C₁的平面角：容易发现取AB的中点D，连接CD，C₁D，这样根据该三棱柱为正三棱柱及二面角平面角的定义即可得出∠CDC₁便是要找的二面角的平面角，而容易看出△CC₁D为直角三角形，CD可以求出，CC₁=$\sqrt{3}$，这样即可求出tan∠CDC₁．

解答 解：（1）证明：正三棱柱的两底面互相平行，即平面A₁B₁C₁∥平面ABC；
又A₁B₁?平面A₁B₁C₁；
∴A₁B₁∥平面ABC；
（2）如图，取AB的中点D，连接CD，C₁D；
∵AC=BC，AC₁=BC₁；
∴CD⊥AB，C₁D⊥AB；
∴∠C₁DC为二面角C-AB-C₁的平面角；
根据题意，△ABC为等边三角形，边长为1，∴$CD=1•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
CC₁⊥底面ABC，CD?底面ABC；
∴CC₁⊥CD；
又$C{C}_{1}=\sqrt{3}$；
∴在Rt△C₁CD中，tan$∠{C}_{1}DC=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$；
即二面角C-AB-C₁的大小的正切值为2．

点评 考查棱柱的定义，正三棱柱的定义，以及二面角及二面角的平面角的定义及求法，线面垂直的性质，正切函数的定义．