Question

函数y=|x-3|+|x+1|的值域是________，y=sin²x+4cosx+1的值域是________．

Answer 1

[4，+∞）    [-3，5]
分析：（1）本题是含有两个绝对值的不等式值域问题，考查的实质是分段函数值域，需要采用定义法去掉绝对值．
（2）本题中含有两个名的三角函数，需要统一，可以借助三角部分存在的恒等式sin²x+cos²x=1转化．
解答：（1）解：x≥3时，y=|x-3|+|x+1|=（x-3）+（x+1）=2x-2，∴y≥4；
-1＜x＜3时，y=|x-3|+|x+1|=（3-x）+（x+1）=4；
x≤-1时，y=|x-3|+|x+1|=-（x-3）-（x+1）=2-2x，∴y≥4，
所以，y≥4
故答案为：[4，+∞）．
（2）y=sin²x+4cosx+1=1-cos²x+4cosx+1
=-cos²x+4cosx-4+6=-（cosx-2）²+6
∵-1≤cosx≤1
∴-3≤cosx-2≤-1
两边平方，得1≤（cosx-2）²≤9，∴-9≤-（cosx-2）²≤-1
∴-3≤-（cosx-2）²+6≤5
∴该函数的值域为[-3，5]．
故答案为：[-3，5]．
点评：1．函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的，其类型依解析式的特点分可分三类：
（1）求常见函数值域；
（2）求由常见函数复合而成的函数的值域；
（3）求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域
2．通常求函数值域如下方法：
①直接法； ②配方法； ③逆求法（反求法）； ④换元法； ⑤三角有界法；
⑥基本不等式法； ⑦单调性法； ⑧数形结合； ⑨导数法