Question

（2012•东城区一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点（0，1），且离心率为

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）A，B为椭圆C的左右顶点，直线l：x=2

2

与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l于E，F两点．证明：当点P在椭圆C上运动时，|DE|•|DF|恒为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可知：b=1，因为e=

c

a

=

3

2

，且a²=b²+c²，可得a的值，进而求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由题意可得：A（-2，0），B（2，0）．设P（x₀，y₀），由题意可得：-2＜x₀＜2，分别写出直线AP与直线BP的方程，再求出E、F两点的纵坐标，即可求出|DE|•|DF|的表达式，然后利用点P在椭圆上即可得到|DE|•|DF|为定值1．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知，b=1，
又因为e=

c

a

=

3

2

，且a²=b²+c²，
解得a=2，
所以椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由题意可得：A（-2，0），B（2，0）．设P（x₀，y₀），由题意可得：-2＜x₀＜2，
所以直线AP的方程为y=

y0

x0+2

(x+2)，令x=2

2

，则y=

(2 2 +2)y0

x0+2

，
即|DE|=(2

2

+2)

|y0|

|x0+2|

；
同理：直线BP的方程为y=

y0

x0-2

(x-2)，令x=2

2

，则y=

(2 2 -2)y0

x0-2

，
即|DF|=(2

2

-2)

|y0|

|x0-2|

；
所以|DE|•|DF|=(2

2

+2)

|y0|

|x0+2|

•(2

2

-2)

|y0|

|x0-2|

=

4 y 2 0

| x 2 0 -4|

=

4 y 2 0

4- x 2 0

而

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，即4y₀²=4-x₀²，代入上式，
所以|DE|•|DF|=1，
所以|DE|•|DF|为定值1．

点评：本题考查了由椭圆的性质求椭圆的方程，以及直线的方程与直线与直线的交点问题，要求有较高的计算能力，是中档题．