Question

如图，P为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a、b为正常数）上任一点，过P点作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，若

PA

=-2

.

PB

．
（Ⅰ）求证：A、B两点的横坐标之积为常数；
（Ⅱ）求△AOB的面积（其中O为原点）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出双曲线的渐近线方程，设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁=-

b

a

x₁，y₂=

b

a

x₂，运用定比分点坐标公式，得到x，y的关系式，再代入双曲线方程，化简整理即可得证；
（Ⅱ）求得|OA|，|OB|，再求两渐近线的夹角的正弦，由三角形的面积公式，计算即可得到．

解答： （Ⅰ）证明：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为y=±

b

a

x，
设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁=-

b

a

x₁，y₂=

b

a

x₂，
∵

AP

=2

PB

，
∴x=

x1+2x2

3

，y=

y1+2y2

3

=

- b a x1+ 2b a x2

3

=

b

a

•

-x1+2x2

3

，
由点P（x，y）在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
∴

(x1+2x2)2

9a2

-

(-x1+2x2)2

9a2

=1，
化简得：x₁x₂=

9a2

8

，
即有A、B两点的横坐标之积为常数；
（Ⅱ）解：|OA|=

x12+ b2 a2 x12

=

a2+b2

a

|x₁|，
同理可得|OB|=

a2+b2

a

|x₂|，
∴|OA|•|OB|=

a2+b2

a2

|x₁|•|x₂|=

a2+b2

a2

•

9a2

8

=

9(a2+b2)

8

，
设直线OA与OB所成的夹角为2θ，∵tanθ=

b

a

，
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

2• b a

1- b2 a2

=

2ab

a2-b2

，
∴sin2θ=

2• b a

1+ b2 a2

=

2ab

a2+b2

，
∴S_△AOB=

1

2

•|OA|•|OB|sin2θ=

1

2

×

9(a2+b2)

8

×

2ab

a2+b2

=

9

8

ab．

点评：本题考查双曲线的标准方程与性质的综合应用，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，属于中档题．