Question

计算(

3

+tan1°)(

3

+tan2°)…(

3

+tan29°)=

2²⁹

．

Answer 1

分析：由1°+29°=30°，利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值列出关系式，整理得到

3

（tan1°+tan29°）=1-tan1°tan29°，然后将所求式子的第一项与最后一项，第二项与倒数第二项，…，第14项与第16项结合，同理将整理的式子及tan15°的值代入，抵消合并后即可得到结果．

解答：解：由tan（1°+29°）=tan30°=

tan1°+tan29°

1-tan1°tan29°

=

3

3

，得到

3

（tan1°+tan29°）=1-tan1°tan29°，
同理得到

3

（tan2°+tan28°）=1-tan2°tan28°，…，

3

（tan14°+tan16°）=1-tan14°tan16°，
又tan15°=tan（45°-30°）=

1- 3 3

1+ 3 3

=2-

3

，
∴原式=[（

3

+tan1°）（

3

+tan29°）][（

3

+tan2°）（

3

+tan28°）][（

3

+tan3°）（

3

+tan27°）]…（

3

+tan15°）=[3+

3

（tan1°+tan29°）+tan1°tan29°][3+

3

（tan2°+tan28°）+tan2°tan28°]…（

3

+tan15°）=4¹⁴×2=2²⁹．
故答案为：2²⁹

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，将所求式子括号中的角之和为30°的两项结合是解本题的关键．