Question

（2012•顺义区二模）已知向量

m

=(2cos

x

2

，1)，

n

=(cos

x

2

，-1)，（x∈R），设函数f(x)=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）已知锐角△ABC的三个内角分别为A、B、C，若f(A)=

5

13

，f(B)=

3

5

，求f（C）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意利用两个向量的数量积公式、二倍角公式，求得函数f（x）的解析式为cosx，再由余弦函数的值域可得函数f（x）的值域．
（Ⅱ）在锐角△ABC中，由 f(A)=

5

13

，f(B)=

3

5

，求得cosA和 cosB 的值，可得 sinA 和sinB 的值，再由f（C）=cosC=-cos（A+B），利用两角和的余弦公式求得结果．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=

m

•

n

=2cos2

x

2

-1=cosx，
再由余弦函数的值域可得函数f（x）的值域为[-1，1]．
（Ⅱ）在锐角△ABC中，f(A)=

5

13

，f(B)=

3

5

，∴cosA=

5

13

，cosB=

3

5

，
∴sinA=

12

13

，sinB=

4

5

，
∴f（C）=cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

5

13

×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

33

65

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式、两角和的余弦公式
的应用，属于中档题．