Question

（理）已知圆M：（x+

5

）²+y²=36，定点N（

5

，0），点P为圆M上的动点，点G在MP上，且满足|GP|=|GN|
（1）求点G的轨迹C的方程；
（2）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设

OS

=

OA

+

OB

，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）由|PG|=|GN|，知|GN|+|GM|=|MP|=6，由椭圆定义可知，点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，由此能求出点G的轨迹C的方程．
（2）因为

OS

=

OA

+

OB

，所以四边形OASB为平行四边形，假设存在l使得|

OS

|=|

AB

|，则四边形OASB为矩形，故

OA

•

OB

=0．由此能够推出导出存在直线l的方程为3x-2y-6=0，或3x+2y-6=0，使四边形OASB的对角线相等．

解答：解：（1）∵|PG|=|GN|，∴|GN|+|GM|=|MP|=6，
又∵|MN|=2

5

，∴|GN|+|GM|＞|MN|，
由椭圆定义可知，点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，
设方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，
则2a=6，2c=2

5

，∴a=3，c=

5

，b=

9-5

=2，
∴点G的轨迹方程是

x2

9

+

y2

4

=1．…（5分）
（2）因为

OS

=

OA

+

OB

，所以四边形OASB为平行四边形，
假设存在l使得|

OS

|=|

AB

|，则四边形OASB为矩形，
∴

OA

•

OB

=0．
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，
由

x=2 x2 9 + y2 4 =1

，得

x=2 y=± 2 5 3

，
此时

OA

•

OB

=

16

9

＞0，或

OA

•

OB

=0矛盾，不合题意，舍去．
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-2) x2 9 + y2 4 =1

，得（9k²+4）x²-36k²x+36（k²-1）=0，
△=（-36k²）²-144（9k²+4）（k²-1）=720k²+576＞0．（※）
∴x1+x2=

36k2

9k2+4

，x1x2 =

36(k2-1)

9k2+4

，①
y₁y₂=[k（x₁-2）][k（x₂-2）]
=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]
=-

20k2

9k2+4

，②
把①②代入x₁x₂+y₁y₂=0，
解得k=±

3

2

，代入（※）式，验证成立．
∴直线l的方程为y=±

3

2

（x-2），即3x-2y-6=0，或3x+2y-6=0，
故存在直线l的方程为3x-2y-6=0，或3x+2y-6=0，使四边形OASB的对角线相等．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想、分类讨论思想的合理运用．