Question

设数列{a_n}是公差为d的等差数列，其前n项和为S_n．已知a₁=1，d=2，
①求当n∈N^*时，的最小值；
②证明：由①知S_n=n²，当n∈N^*时，+…+．

Answer 1

解：①∵a₁=1，d=2，∴S_n==n²，
==≥=16
当且仅当n=即n=8时，上式取等号，
故的最小值是16；
②证明：由①知S_n=n²，当n∈N^*时，
==，
∴+…+
=[-+++…+]
=，
∵
∴+…+=
故命题得证．
分析：①通过等差数列的知识可求和，由基本不等式可得最值；②把①求到的和代入，由裂项相消法可求和，由不等式的放缩法可得结论．
点评：本题为数列和基本不等式的结合，涉及裂项相消法求和，属中档题．