Question

f（x）=a₁sin（x+β₁）+a₂sin（x+β₂）+…+a_nsin（x+β_n），其中a_i、β_i（i=1，2，…，n）均为常数，下列说法正确的有

（1）（2）（3）（4）

（1）若f(0)=0，  f(

π

2

)=0，则对于任意x∈R，f（x）=0恒成立；
（2）若f（0）=0，则f（x）是奇函数； 
（3）若f(

π

2

)=0，则f（x）是偶函数；
（4）若f2(0)+f2(

π

2

)≠0，且当x₁≠x₂时f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁-x₂=kπ（k∈Z）．

Answer 1

分析：根据和差角公式，类比推理可将函数f（x）=a₁sin（x+β₁）+a₂sin（x+β₂）+…+a_nsin（x+β_n）的解析式化简为f（x）=Msin（x+φ）的形式，进而根据三角函数的图象和性质，逐一判断四个答案，可得结论．

解答：解：∵f（x）=a₁sin（x+β₁）+a₂sin（x+β₂）+…+a_nsin（x+β_n）=Msin（x+φ）
（1）中，若f（0）=Msinφ=0，f（

π

2

）=Mcosφ=0，则M=0，所以f（x）=0恒成立，故（1）正确；
（2）中，若f（0）=Msinφ=0，所以sinφ=0，所以f（x）=±Msinx，f（-x）=

.

+

Msinx，故f（-x）=-f（x），故f（x）奇函数，故（2）正确；
（3）中，若f（

π

2

）=Mcosφ=0，所以cosφ=0，所以f（x）=±Mcosx，f（-x）=

.

+

Mcosx，故f（-x）=f（x），故f（x）偶函数，故（3）正确；
（4）中，若f2(0)+f2(

π

2

)≠0，且当x₁≠x₂时f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁，x₂相差半个周期的整数倍，由f（x）=Msin（x+φ）的周期为2π可得x₁-x₂=kπ（k∈Z），故（4）正确；
故答案为：（1）（2）（3）（4）

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的真假判断与应用，其中将已知中函数的解析式化为f（x）=Msin（x+φ）的形式，是解答的关键．