Question

计算：（1）

-2 3 +i

1+2 3i

+(2+i15)-(

1+i

2

)22；
（2）

(1- 3 i)15-(1+ 3 i)6

2i(-1+i12•( 1 2 + 1 2 i) 4

（3）1+2i+3i²+…+1000i⁹⁹⁹．

Answer 1

分析：利用ω³=

.

ω

³=1，ω+

.

ω

=-1，ω

.

ω

=1，ω²=

.

ω

，

.

ω

²=ω，|ω|=|

.

ω

|=1，1+ω+ω²=0，1+

.

ω

+

.

ω

²=0
这些性质中（ω=-

1

2

+

3

2

i）；（1±i）²=±2i，

1-i

1+i

=-i，

1+i

1-i

=i解答（1）（2）．利用i的幂的周期性解答（3）．

解答：解：（1）原式=

i(1+2 3 i)

1+2 3 i

+（2-i）-(

2i

2

)11
=i+2-i-（-i）
=2+i
（2）原式=

[-2(- 1 2 + 3 2 i)]15-[-2(- 1 2 - 3 2 i)]6

2i(1-i)12• 1 24 (1+i)4

=

-215[(- 1 2 + 3 2 i)3]5-26[(- 1 2 - 3 2 i)3]2

2i(-2i)6• 1 24 (2i)2

=

-215-26

25•i

=

-25(210+2)

25•i

=1026i
（3）解法1：原式=（1+2i-3-4i）+（5+6i-7-8i）+…+（997+998i-999-1000i）
=250（-2-2i）=-500-500i
解法2：设S=1+2i+3i²+…+1000i⁹⁹⁹，
则iS=i+2i²+3i³+…+999i⁹⁹⁹+1000i¹⁰⁰⁰，
∴（1-i）S=1+i+i²+…+i⁹⁹⁹-1000i¹⁰⁰⁰
=

1-i1000

1-i

-1000=-1000
∴S=

-1000

1-i

=-500-500i．

点评：（1）计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性．
（2）重视利用ω³=

.

ω

³=1，ω+

.

ω

=-1，ω

.

ω

=1，ω²=

.

ω

，

.

ω

²=ω，|ω|=|

.

ω

|=1，1+ω+ω²=0，1+

.

ω

+

.

ω

²=0
这些性质（ω=-

1

2

+

3

2

i）；要记住常用的数据：（1±i）²=±2i，

1-i

1+i

=-i，

1+i

1-i

=i．
（3）充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法．