Question

【题目】已知函数， .

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数g（x）的单调性结合函数零点的个数确定a的范围即可．

解析：

（Ⅰ）.

（i）若，则当时， ；当时， ；

故函数在单调递减，在单调递增．

（ii）当时，由，解得： 或.

①若，即，则， ，

故在单调递增．

②若，即，则当时， ；当时， ；故函数在， 单调递增，在单调递减．

③若，即，则当时， ；当时， ；故函数在， 单调递增，在单调递减．

（Ⅱ）（i）当时，由（Ⅰ）知，函数在单调递减，在单调递增．

∵，

取实数满足且，则

，

所以有两个零点．

（ii）若，则，故只有一个零点．

（iii）若，由（I）知，

当，则在单调递增，又当时， ，故不存在两个零点； 当，则函数在单调递增；在单调递减．又当时， ，故不存在两个零点．

综上所述， 的取值范围是．