Question

对于二项式ⁿ(n∈N^*)，四位同学作出了四种判断：
①存在n∈N^*，展开式中有常数项；
②对任意n∈N^*，展开式中没有常数项；
③对任意n∈N^*展开式中没有x的一次项；
④存在n∈N^*，展开式中有x的一次项．
上述判断中正确的是________．

Answer 1

①④

二项式ⁿ的展开式的通项为
T_r＋1＝C_n^rn－r·(x³)^r＝C_n^rx^r－n·x^3r＝C_n^rx^4r－n.
当展开式中有常数项时，有4r－n＝0，
即存在n、r使方程有解．当展开式中有x的一次项时，有4r－n＝1，
即存在n、r使方程有解．即分别存在n，使展开式有常数项和一次项．