Question

已知正数数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn=

1

8

(a n+2)2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

8

an•an+1

，（n∈N^*）且数列{b_n}的前n项和为T_n，如果T_n＜m²-m-5对一切n∈N^*成立，求正数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）将已知的Sn=

1

8

(a n+2)2中的n用n-1代替，仿写一个新的等式，两个式子相减，变形得到项的递推关系，利用等差数列的定义判断出是一个等差数列，利用等差数列 通项公式求出通项．
（II）将a_n代入bn=

8

an•an+1

，将其裂成两项的差，，利用裂项求和求出T_n，列出关于m的不等式，求出m的范围．

解答：解：（I）∵Sn=

1

8

(an+2)2，
∴Sn+1=

1

8

(an+1+2)2，
两式相减得8a_n+1=a_n+1²-a_n²+4a_n+1-4a_n，∴a_n+1²-a_n²-4a_n+1-4a_n=0，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0，
又{a_n}是正数数列，
∴a_n+1-a_n-4=0，
∴a_n+1-a_n=4，
∴{a_n}是等差数列．  
∵S1=

1

8

(a1+2)2，
∴a₁=2，
∴a_n=4n-2，（n∈N^*）．    
（II）∵a_n=4n-2，
∴bn=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴Tn=b1+b2+…+bn=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

，
∴对一切n∈N^*，必有T_n＜1．             
故令m²-m-5≥1，
∴m≤-2或m≥3，又m＞0，
∴m≥3．

点评：解决数列的通项与前n项和有关的问题，一般通过仿写得到新等式，两个式子相减得到关于通项的递推关系再解决；解决数列的求和问题，一般先根据通项的特点选择合适的求和方法．