Question

如图椭圆的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形OANB是矩形（O为原点），点E，M分别为线段OA，AN的中点．
（Ⅰ）证明：直线DE与直线BM的交点在椭圆C上；
（Ⅱ）若过点E的直线交椭圆于R，S两点，K为R关于x轴的对称点（R，K，E不共线），问：直线KS是否经过x轴上一定点，如果是，求这个定点的坐标，如果不是，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出直线DE、BM的方程，从而可得交点坐标，代入椭圆方程验证即可；
（Ⅱ）确定直线SK的方程，求得y=0时，横坐标为定值，即可得到结论．
解答：（Ⅰ）证明：由题意，得，
所以直线DE的方程，直线BM的方程为，------（2分）
由，得，
所以直线DE与直线BM的交点坐标为，---------------（4分）
因为，所以点在椭圆上．---------（6分）
（Ⅱ）设RS的方程为y=k（x-1），代入，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），则K（x₁，-y₁），，
直线SK的方程为，令y=0，得，
将y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）代入上式得，
所以直线SK经过x轴上的点（4，0）．---------（12分）
点评：本题考查直线方程，考查点与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，确定直线的方程是关键．