Question

14．对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称函数f（x）具有性质P，给出下列3个函数：
①f（x）=sinx；
②f（x）=x³-3x；
③f（x）=lgx+3．
其中具有性质P的函数是②．（填入所有满足条件函数的序号）

Answer 1

分析 ①对于函数f（x）=sinx，根据其在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上是单调增函数，通过分析方程sinx=x在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上仅有一解，判断即可；
②通过对已知函数求导，分析出函数的单调区间，找到极大值点和极小值点，并求出极大值b和极小值a，而求得的f（a）与f（b）在[a，b]范围内，满足性质P；
③根据“性质P”的定义，函数存在“区间M”，只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“区间P”，判断即可．

解答 解：①对于函数f（x）=sinx，若正弦函数存在等值区间[a，b]，
则在区间[a，b]上有sina=a，sinb=b，
由正弦函数的值域知道[a，b]⊆[-1，1]，
但在区间]⊆[-1，1]上仅有sin0=0，
所以函数f（x）=sinx不具有性质P；
②对于函数f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）．
当x∈（-1，1）时，f′（x）0．
所以函数f（x）=x³-3x的增区间是（-∞，-1），（1，+∞），减区间是（-1，1）．
取M=[-2，2]，此时f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2．
所以函数f（x）=x³-3x在M=[-2，2]上的值域也为[-2，2]，
则具有性质P；
③对于 f（x）=lgx+3，若存在“稳定区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，
故有$\left\{\begin{array}{l}{lga+3=a}\\{lgb+3=b}\end{array}\right.$，即方程lgx+3=x有两个解，这与y=lgx+3和y=x的图象相切相矛盾．
故③不具有性质P．
故答案为：②．

点评 本题是新定义题，考查了函数的定义域与值域的关系，体现了数学转化思想，此题中单调函数存在好区间的条件是f（x）=x，正确理解“性质P”的定义是解答该题的关键，是中档题．