Question

（09年江苏模拟）过点P（1，0）作曲线的切线，切点为M₁，设M₁在x轴上的投影是点P₁。又过点P₁作曲线C的切线，切点为M₂，设M₂在x轴上的投影是点P₂，…。依此下去，得到一系列点M₁，M₂…，M_n，…，设它们的横坐标a₁，a₂，…，a_n，…，构成数列为。

   （1）求证数列是等比数列，并求其通项公式；

   （2）求证：；

   （3）当的前n项和S_n。

Answer 1

解析：（1）对求导数，得的切线方程是

                                              

当n=1时，切线过点P（1，0），即0

当n>1时，切线过点，即0

所以数列

所以数列                       

   （2）应用二项公式定理，得

   

（3）当

，

同乘以                        

两式相减，得

所以